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PackageLoc ：　３D幾何・代数操作パッケージ

Outline

1. 1. PackageLoc ：　３D幾何・代数操作パッケージ
      1. Loc ：３次元空間の位置（x, y, z)を表す非常に軽いクラス
      2. Rod ：３次元空間の直線のモデル
      3. Tag ：３次元空間の平面のモデル
      4. Ship ：３次元空間の空間／方形／姿勢のモデル
      5. Vec ：任意長の行ベクトルモデル
      6. Mat ：任意サイズの行列モデル
      7. EqSys：一般非線形連立方程式（系）モデルの概要
      8. VFunc：パラメータ付きベクトル関数モデルの概要

Processing専用ではなく単独でも使えるコンパクトな幾何・代数クラス群。以下のクラスが利用可能

• Loc　：　３Dベクトルモデル　　　　 ー　三次元位置／ベクトル演算が可能(Wrj4P5に必要)
• Rod　：　３D直線モデル　　　　 　　ー　三次元直線に関する演算が可能
• Tag　：　３D平面モデル　　　　 　　ー　三次元平面に関する演算が可能
• Ship　：　３D空間モデル　　　　 　　ー　三次元立体に関する演算が可能(まだ)
• Vec　：　任意長の行ベクトルモデル　ー　一般ベクトル演算、および高次方程式の求根が可能
• Mat　：　任意サイズの行列モデル　　ー　一般行列演算、および一次連立方程式の求解が可能
• EqSys：　非線形連立方程式モデル　　ー　一般非線形連立方程式（系）の求解が可能（抽象クラス）
• Vfunc：　非線形ベクトル関数モデル　ー　一般パラメタ付きベクトル関数の求解・求極点・観測に基づくパラメタ同定が可能（抽象クラス）

Vec,Mat, EqSys, Vfuncのためのテストコードはこちら

Rod のための テストコードはこちら

Loc ：３次元空間の位置（x, y, z)を表す非常に軽いクラス

だけど、位置あるいはベクトルに関する演算は豊富。 ハイパーカードの「見える」オブジェクトはプロパティーlocを必ず持っていたもんだ。 実態は「X座標値，Y座標値」が書かれた文字列なんだけど、the first item of loc of cursorでマウスカーソルのX座標を取り出せた。 なもんで、P5でもlocを使いたくて自前で用意したのがLoc。

• Javaには類似のクラスがあったらしいが、Locって名前じゃなかったので、調べないで着手してしまった。

で、軽いクラスの割には豊富な操作が可能。覚えておいて損は無い。（はず）

Rod ：３次元空間の直線のモデル

位置ベクトルのモデルであるLocに比べると操作のバリエーションは少ないけど、各々の内容は遥かに濃い。とりあえず下記のようなイメージ

• at(t)=ｔにある位置　　：（直線の）方向ベクトルを長さｔだけ延長したところにある点
• stern()=艢（とも）　　：基点の位置
• fore()=前方（ぜんぽう）：長さ１の単位ベクトル
• bow() =舳先(へさき） ：（直線の）方向ベクトルを現在の長さ(length)だけ延長したところにある点
• length()=全長　　　　；この【線分】の長さ

つぎの三っつのメソッドはre-chestnut君による解の公式の成果。（多謝）

• Rod nearest(Rod to) // thisとtoのあいだの最短線分、長さが０なら交差している
• float dist(Rod to) // 二つの直線間の距離（３次元空間上での最近接距離）
• boolean crossing(Rod to) // 直線toと交差するか？（最近接距離がゼロか？）

Tag ：３次元空間の平面のモデル

Rodに幅（横方向）を付けたモデル。増えたのは

• at(t,s)=(t,s)にある位置　　　：二つの方向ベクトルをそれぞれt倍、s倍だけ延長したところにある点
• keel()=竜骨（りゅうこつ）　：この平面の前後を規定する直線、Rod
• starBoard()=右舷（うげん）：右端の位置
• star()=右（みぎ）　　　　　：右方向への方向ベクトル
• width()=全幅（ぜんぷく）　：この【部分平面】の幅
• normal()=法線（ほうせん）：この平面の法線ベクトル

Ship ：３次元空間の空間／方形／姿勢のモデル

Tagに高さ（上方向）を付けたモデル。増えたのは

• at(t,s)=(t,s,u)にある位置　　　：三つの方向ベクトルをそれぞれt倍、s倍、u倍だけ延長したところにある点
• sea()=水面（水面）　　　　：この立体の水平面を規定する平面、Tag
• bridgeTop()=艦橋（かんきょう：艦橋上端の位置
• up()=上方（じょうほう）　　：上方向への方向ベクトル
• height()=全高（ぜんこう）　：この【部分空間】の高さ

Vec ：任意長の行ベクトルモデル

良くあるベクトル演算は一通りそろっている。（Loc->Vec, Vec->Locの変換にはこのクラスを用いる。）
さらに、高次方程式

の全ての複素根、あるいは全ての実根のみをDurand-Kerner-Aberth(DKA)法で求める事が出来る。

Mat ：任意サイズの行列モデル

良くある線形代数（行列）演算は一通りそろっている。
添字の基数は０。すなわち

さらに、LU分解を用いた多元線形連立方程式

を解く事が出来る

• [注意!]
  LU分解結果は下記メソッドでキャッシュされ、再利用される。
  

• （参）CGのための線形代数 郡山 彬 (著), 峯崎 俊哉 (著), 原 正雄 (著)

EqSys：一般非線形連立方程式（系）モデルの概要

求解が可能な一般非線形連立方程式、

で構成される方程式系　F(x) = 0 の抽象モデル、利用するには、EqSysから継承して、抽象メソッド

• valueAt(x) ：ベクトルxにおける関数の値を評価する
• jacobAt(x) ：ベクトルxにおける関数のグラディエント(Jacobian)を評価する

の実装が必要。
陽にグラディエント(Jacobian)を評価できない（＝微分不可能な）関数の場合、

• jacobAt(x)　　： diffAt(x, d)を返す。
• diffAt(i, x, d)　：必要なら、オーバーライドして、{{F_i(x+d_j)-F_i(x)}/d_j}を定義する

ように実装する。

• 現在のところ利用可能な求解法はニュートン法とSimplex法

VFunc：パラメータ付きベクトル関数モデルの概要

求解、求極点、パラメタ推定が出来るパラメータ付きのベクトル関数

の抽象モデル、利用するには、Vfuncから継承して、抽象メソッド

• valueAt(x, p) 　　　：ベクトルxにおける関数の値を評価する
• gradAt(x, p)　　　：ベクトルxによる関数のグラディエントを評価する(pは所与）
• gradParamAt(x, p)：ベクトルpによる関数のグラディエントを評価する（xは所与）

の実装が必要。
陽にグラディエントを評価できない（＝微分不可能な）関数の場合、

• gradAt(x, p)　　　　：diffAt(x,d,p) を返す
• diffAt(x, p, d)　　　　：必要なら、オーバーライドして、{ {F(x_i+d_i:p)-F(x_i:p)}/d_i }を評価する
• gradParamAt(x, p)　：diffParamAt(x, d, p)を返す
• diffParamAt(x, d, p)　：必要なら、オーバーライドして、{ {F(x:p_i+d_i)-F(x:p_i)}/d_i }を評価する

のように実装する。
現在のところは、

• func(x;p)=0 のニュートン法／シンプレックス法による求解
• func(x;p) のニュートン法／シンプレックス法による極点探索
• 残差平方和 ssr(obs,samples)のニュートン法／シンプレックス法によるパラメータ極点探索（最小二乗法）

のみ
【Vfuncの例題】ロジスティック曲線パラメータ同定

• （参）非線形系のダイナミクス―非線形現象の解析入門 日本機械学会 (著)
• （参）新しい自然学―非線形科学の可能性 蔵本 由紀 (著)